Das Update (6.x auf 6.y) des Drupal-Kerns erfolgt ähnlich wie ein Modul-Update nur im größeren Umfang.
Wie immer gilt zuerst lokal ausprobieren, dann beim Live-Projekt.
Ein Update kann, wie in den folgenden Schritten beschrieben, so durchgeführt werden:
ACHTUNG! Solltest du Zusatz-Module unter /modules installiert/angelegt haben und nicht unter sites/all/modules. Dann den modules Ordner nicht löschen sondern nur die Kern-Module und mit neuen Versionen ersetzen. Und zukünftig Module unter sites/all/modules installieren. Das gleiche gilt für deine Themes.
In den zukünftigen Updates könnte es ggf. vorkommen, dass sich die default.settings.php im Ordner sites\default ändert. (Was ich allerdings bezweifel) Am schnellsten findest Du dies heraus mit ein Vergleichsprogramm. Sollte es mal vorkommen, ergänzt Du in deine settings.php die fehlenden Zeilen und überschreibst/ersetzt die alte default.settings.php mit der neuen.
So das ganze nochmal in Bild und Ton.